Mostre que as proposicoes sao: tautologia, contradição e contigência.

Utilizando o método da redução ao absurdo, provaremos a tautologia.

Primeiro, vamos escrever na forma de condicional.

O conectivo condicional (->) contém quatro casos:

V -> V   >> V

F -> V >> V

F -> F >> V

V -> F >> F

Para que a proposição H seja uma tautologia, o condicional ( -> ) deve ser sempre verdadeiro (o que faz ela virar uma implicação).

Caso o lado esquerdo (p -> q) seja V e o lado direito ((p ∧ r) -> q) seja F, teremos V -> F >> F, o que impossibilitaria ser uma implicação (=>), pois implicação é uma tautologia e esse caso deu F.

Assim, para provar que a proposição H é uma tautologia, podemos provar que ela não é uma contingência, isto é, que ela não contém casos V e F misturados.

Supondo inicialmente que o lado esquerdo seja V, então nada sabemos sobre p e q. No entanto, se o lado direito for F, então sabemos que:

(p ∧ r) -> q >> F

(p ∧ r) é V ; q é F

Logo,  se (p ∧ r) é V, então p e r são V (V ∧ V >> V).

p: V

q: F

Isso entra em uma contradição, já que supomos inicialmente (p -> q) ser V, porém, como p é V e q é F, então p -> q será V -> F >> F.

Portanto, está provado que a proposição H é sempre V, ou seja, uma tautologia.