10 PONTO O polinomio p(x) = x³ + 2x² - 11x - 12 tem tres raizes inteiras. Se a primeira delas é o quadruplo da segunda e a soma da primeira com a segunda é -5, então o produto da primeira e a segunda é:
a) -4
b) 4
c) -7
d) 3
e) 12
PRECISO DO CALCULO POR FAVOR < 3

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos as Relações de Girard para equações algébricas de grau 3.

Seja o polinômio . Suas raízes são inteiras e sabemos que: a primeira delas é o quádruplo da segunda e a soma entre estas duas raízes é igual a .

Com isso, considerando as raízes e , facilmente poderíamos encontrar o valor desejado resolvendo o seguinte sistema:

Porém, utilizaremos as relações de Girard.

Dada uma equação algébrica de grau 3 de coeficientes reais , tal que , ao dividirmos ambos os lados da equação por , teremos:

.

As relações de Girard nos garantem que, para uma equação de grau 3:

Assim, consideremos a soma entre as raízes e a informação dada pelo enunciado. Substituindo os coeficientes e , temos:

Dado que , temos

Some em ambos os lados da equação

Agora, utilizando a fórmula para o produto entre as raízes e substituindo o coeficiente , teremos:

Visto que encontramos , teremos:

Divida ambos os lados da equação por

Este era o valor que procurávamos e é a resposta contida na letra b).

a: primeira

b: segunda

a=4b

a+b=-5

4b+b=-5 ==>b=-1  ==>a=-4

a*b=(-1)*(-4)=4

Letra B

três raízes a,b,c

a=4b

a+b=-5  ==> 4b+b=-5 ==>b=-1

a=4b=-4

a*b= (-4)*(-1) =4

resposta: radmdmm m mooommm rn