Apopulação p de uma colônia de bactérias do gênero bacillus após t dias do início de um experimento pode ser modelada pela função cúbica abaixo:

p(t) = 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t + 230.000

pede-se para essa situação:

a) qual a população inicial de bactérias?

b) quanto tempo a população leva para dobrar de tamanho?

c)com que taxa a população está variando no momento em que dobra de tamanho?

a) Qual a população inicial de bactérias?
P(0) = 1,035*0³ + 103,5*0² + 6.900*0 + 230.000 
P(0) = 230.000 

b) Quanto tempo a população leva para dobrar de tamanho?
460.000 = 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t + 230.000
0 = 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t - 230.000 
1,035t³ + 103,5t² + 6.900t - 230.000 = 0
t' = 23,30 dias (resolvi pelo excel)

c) P'(t) = 3*1,035*t² + 2*103,5*t + 6900

Agora vc substitui o t pela resposta encontrada na letra b.

a)    Qual a população inicial de bactérias?

 

P(t)= 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t + 230.000
P(0)= 1,035*0³ + 103,5*0² + 6.900*0 + 230.000
P(0)= 0 + 0 + 0 + 230.000
P(0)= 230.000
A população inicial de bactérias é de 230.000

b)   Quanto tempo a população leva para dobrar de tamanho?

 

460.000 = 1,035*t³ + 103,5*t² + 6.900*t + 230.000
0 = 1,035*t³ + 103,5*t² + 6.900*t + 230.000 - 460.000 
0 = 1,035*t³ + 103,5*t² + 6.900*t - 230.000 
1,035*t³ + 103,5*t² + 6.900*t - 230.000 = 0
t' = 23,30 dias

A população leva 23,30 dias para dobrar de tamanho.

 

 

c)    Com que taxa a população está variando no momento em que dobra de tamanho?

 

P'(t) = 3*1,035t² + 2*103,5t + 6900

P’(t) = 3,105t² + 207t + 6900

Substituindo t por t = 23,30

P’(23,30) = 3,105*(23,30)² + 207*(23,30) + 6900

P’(23,30) = 1685,67 + 4823,10 + 6900

P’(23,30) = 13408,77

A população está variando a uma taxa de 13408,77.

P'(t) = 3*1,035*t² + 2*103,5*t + 6900

Agora vc substitui o t pela resposta encontrada na letra b.

P(t)= 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t + 230.000

P(0)= 1,035×0³ + 103,5×0² + 6.900×0 + 230.000
P(0)=    0           +        0       +       0     +  230.00
P(0)= 230.00

P é 0 porque o tempo inicial é nulo, não tem!

Vamos lá.

Veja, Guilherme, que a sua questão é esta:

"A população P de uma colônia de bactérias do gênero Bacillus, após "t" dias do início de um experimento, pode ser modelada pela função cúbica abaixo:

P(t) = 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t + 230.000"

Tendo em vista a equação acima, são pedidas as seguintes informações:

a) Qual a população inicial de bactérias?
resposta: para isso, basta que substituamos "t' por "0", pois como "t" significa os dias passados a partir da sua modelação, então na situação inicial ainda não teria passado nenhum dia. Logo, substituindo-se "t" por "0", teremos:

P(0) = 1,035*0³ + 103,5*0² + 6.900*0 + 230.000
P(0) = 0 + 0 + 0 + 230.000
P(0) = 230.000 <--- Esta é a população inicial de bactérias. Então esta é a resposta para o item "a".

b) Quanto tempo a população leva para dobrar de tamanho?
resposta: Para isso, substituiremos P(t) pelo dobro da população inicial (230.000). Assim, o dobro de 230.000 é: 2*230.000 = 460.000.
Logo, substituindo P(t) por 460.000, teremos:

460.000 = 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t + 230.000 passando "460.000" para o 2º membro, ficamos com:

0 = 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t + 230.000 - 460.000
0 = 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t - 230.000 --- vamos apenas inverter, ficando:
1,035t³ + 103,5t² + 6.900t - 230.000 = 0 aplicando as relações de Girard, encontraremos uma única raiz real e NÃO EXATA e aproximadamente igual a:

t' = 23,3 dias (aproximadamente) <--- Esta é a resposta para a o item "b".

As demais raízes são complexas, o que não vai interessar para a nossa questão.

Assim, a população levará "23,3" dias (aproximadamente) para dobrar de tamanho.

c) Com que taxa a população está variando no momento em que dobrou de tamanho?
É aqui que vamos refazer a nossa resposta.
Para isso, vamos derivar a expressão encontrada quando a população dobrou de tamanho, que era esta: P(t) = 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t - 230.000 

Agora vamos derivar, com o que ficaremos assim:

P'(t) = 3*1,035t² + 2*103,5t + 6.900
P'(t) = 3,105t² + 207t + 6.900

Finalmente, agora vamos substituir "t" por "23,3" (23,3 dias, que foram os dias passados para que a população dobrasse). Assim:

P'(23,3) = 3,105*(23,3)² + 207*(23,3) + 6.900
P'(23,3) = 3,105*(542,89) + 207*(23,3) + 6.900
P'(23,3) = 1.685,67 + 4.823,10 + 6.900
P'(23) = 13.408,77 que poderemos arredondar para "13.409" (já que os números aqui são apenas aproximados). Logo:

P'(23) = 13.409 bactérias/dia < Esta será a resposta para o item "c". 

É isso aí.

OK?
Adjemir.

X(a-b) + g (a-b) (x+g) (a-b)

Ocomplemento de um ângulo é o quanto falta para este ângulo formar 90 graus.
logo, se chamarmos nosso ângulo de  α, seu complemento será: 90 -  α.

o quadruplo deste ângulo (90 -  α) é igual ao próprio  α. logo:
4(90 -  α) =  α
360 - 4α =  α
360 = 5α
α = 72 graus.