Das alternativas abaixo, assinale a única que é correta a respeito da função f(x) = -2 (x+1)(2-x).
a) a função é do primeiro grau e é decrescente, pois a = -2.
b) a função é do segundo grau e possui concavidade voltada para baixo a = -2.
c) a função é do segundo grau e possui concavidade voltada para cima, pois a = 2
d) a função é do primeiro grau e é crescente, pois a = 2.
e) a função não é do primeiro grau e nem do segundo grau.

Boa noite! Segue a resposta com algumas explicações, para facilitar o entendimento.

Análise das alternativas:

a) a função é do primeiro grau e é decrescente, pois a = -2.

FALSO - Note que f(x) = -2 (x+1)(2-x) está fatorada (três fatores), de modo que se deve aplicar a propriedade distributiva e desenvolver a referida função:

f(x) = -2 (x+1)(2-x) = -2 . (2x - x² + 2 - x) = -2 . (x - x²) = -2x + 2x²

Assim, a função desenvolvida é f(x) = 2x² - 2x. Trata-se, pois de uma função do segundo grau, pois o maior expoente que acompanha a incógnita x é o 2 (em x²).

-Podem ser obtidas outras informações sobre esta função, por meio de comparação com a fórmula genérica de uma função do segundo grau:

f(x) = 2x² - 2x

f(x) = ax² + bx + c

O coeficiente a = 2 e é positivo, portanto, o gráfico será uma parábola com a concavidade voltada para cima. Além disso, veja que c=0, o que significa que a parábola interceptará o eixo y no ponto (0, 0).

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b) a função é do segundo grau e possui concavidade voltada para baixo a = -2.

FALSO - Perceba que da análise feita no item a deduziu-se que se trata de uma função do 2º grau e cujo gráfico possui a concavidade voltada para cima, em razão de a > 0.

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c) a função é do segundo grau e possui concavidade voltada para cima, pois a = 2.

VERDADEIRO - A alternativa c indica a conclusão da análise feita no item a. Realmente o coeficiente vale 2 e, por ser maio que zero, faz com que a parábola tenha concavidade voltada para cima.

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d) a função é do primeiro grau e é crescente, pois a = 2.

FALSO - A forma desenvolvida de f(x) = -2 (x+1)(2-x)  resultou em -2x + 2x², uma função do segundo grau e não do primeiro. Apenas a parte final desta afirmativa está correta, pois a = 2.

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e) a função não é do primeiro grau e nem do segundo grau.

FALSO - Foi constatada na análise feita no item a que a função é do segundo grau.

Conclui-se, do acima exposto, que a alternativa correta é a c.

OBSERVAÇÃO: Veja, em anexo, o gráfico da função f(x) = 2x² - 2x e note nele os pontos C e E, que correspondem às raízes desta função. Note também que a parábola cruza o eixo y no ponto (0, 0), justamente porque o termo independente c não existe na função, ou seja, é igual a zero.

Espero haver lhe ajudado e bons estudos!