Matemática, 13.11.2020 01:10 alexandre704

Determine o argumento principal de cada um dos seguintes números complexos:
a)z= √3+i
b)z=4√3-4i
c)z= -2 + 2i
d)z= -2 + 2i√3
e)z= -1/2 - 1/2i
f) z = 2i
g) z = -3 - 3i√3
h) z = -6
i) z = 6 - i√2
j) z = - i/4

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Resposta de: melissamoraes402

$a) arg(z)=\frac{5\pi}{4}rad$

$b) arg(z)= \frac{\pi }{2}rad$

$c) arg(z)= \pi rad$

$d) arg(z)= \frac {3\pi }{2}rad$

Explicação passo-a-passo:

Para determinar o argumento de cada um desses números complexos precisamos basicamente usar (a,b) de cada um deles como coordenadas no plano de Argand-Gauss. (OBS: A imagem com o plano está indo em ordem mas apenas com coordenadas, o ângulo e z, as contas vou deixar apenas abaixo :D )

Item (A):

$z=\frac{-1}{2} - \frac {1}{2}i$

Utilizando a e b para construir o diagrama, temos:

$z=(\frac{-1}{2}, \frac{-1}{2})$

Ou seja, o vetor Z, tem essas coordenadas. Agora, ao invés de fazermos o habitual módulo ou norma de Z vamos perceber algo que pode facilitar nossas vidas. Espero que não tenha sido só eu que notei que as coordenadas estão iguais, isso quer dizer que ao montar isso no plano, Z será a diagonal de um "quadrado" de lado 0.5 u.c. em algum dos quadrantes.

E por ser a diagonal de um quadrado forma um ângulo de 45° ou π/4, e como o θ do argumento é em sentido anti-horário concluímos que teremos um ângulo de 225° ou 5π/4.

Portanto:

$arg(z)=\frac{5\pi}{4}rad$

Item (B):

z= 2i

Agora, de novo, utilizando a e b para montar o plano:

z= (0, 2)

Ao observar como essas coordenadas são no gráfico, percebemos que está apenas no eixo imaginário, e por estar nesse eixo ao se fazer uma análise rápida desse ângulo percebemos que é 90° ou π/2. (Spoiler: infelizmente nenhuma vai precisar tirar o módulo de Z, se quiser depois por comentário ou outra pergunta eu mostro como se deve fazer quando precisa tirar o módulo do vetor Z e não se tem um ângulo notável)

Por isso:

$arg(z)= \frac{\pi }{2}rad$

Item (C):

z= -6

Coordenadas:

z=(-6, 0)

E mais uma vez, apenas de passar o olho em como o gráfico ficou, percebemos que não é necessário o cálculo do vetor Z. Nesse caso o número se apresenta inteiramente no eixo real, porém na parte negativa do eixo. Ou seja tem argumento igual a 180°.

Sendo assim:

$arg(z)= \pi rad$

Item (D):

$z= \frac {-i}{4}$

Coordenadas:

$z=(0, \frac {-1}{4})$

Olhando esse último gráfico, temos um número novamente no eixo dos imaginários, chamado de imaginário puro. Com argumento igual a 270° ou 3π/2.

E finalmente:

$arg(z)= \frac {3\pi }{2}rad$

Espero que não tenha se cansado de ler e parado pelo caminho kkkk. Se tiver alguma dúvida pode me chamar nos comentários. Mais alguma questão também pode me chamar. Bons estudos !!!!

(Eu esforcei para fazer os planos mais claros e bonitinhos possíveis, mas mesmo assim achei feio kkk, foi mal)

Determine o argumento principal de cada um dosseguintes números complexos: a)z= - 1/2 - 1/2i b)z=2i

Resposta de: tay5876

$arg(z) = \frac{\pi}{6} = 30°$

Explicação passo-a-passo:

$z = \sqrt{3} + i$

Pela forma trigonométrica de um número complexo:

$z = |z| \times ( \cos( \gamma ) + i \sin( \gamma ) )$

A forma de um número complexo :

$z = a + bi \\ a = \sqrt{3} \\ b = 1 \\ z = \sqrt{3} + i$

Agora sabemos que:

$\cos( \gamma ) = \frac{a}{ |z| } \\ \sin( \gamma ) = \frac{b}{ |z| }$

E que o módulo de Z é :

$|z| = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }$

Então calculamos a fórmula do módulo de Z.

$|z| = \sqrt{ { \sqrt({3}) }^{2} + {1}^{2} } = \\ |z| = \sqrt{3 + 1} = \\ |z| = \sqrt{4} = 2 \\ |z| = 2$

Agora aplicamos a fórmula do seno e cosseno para achar as Coordenadas trigonométricas.

$\cos( \gamma ) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \sin( \gamma ) = \frac{1}{2} \\$

Agora pegamos e relembramos a tabela dos ângulos notáveis.

$\sin( \frac{\pi}{6} ) = \frac{1}{2} \\ \sin( \frac{\pi}{4} ) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \sin( \frac{\pi}{3} ) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

$\cos( \frac{\pi}{6} ) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \cos( \frac{\pi}{4} ) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \cos( \frac{\pi}{3} ) = \frac{1}{2}$

Agora achamos o pi radianos que bate com as coordenadas dadas acima.

Sabemos que o ângulo cujas coordenadas do seno é cosseno respectivamente são

$\frac{ \sqrt{3} }{2} , \frac{1}{2}$

Isso bate exatamente com:

$\cos( \frac{\pi}{6} ) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \sin( \frac{\pi}{6} ) = \frac{1}{2} \\ \frac{\pi}{6} = \frac{180°}{6} = 30° \\ \frac{\pi}{6} = 30°$

Portanto o argumento de Z:

$arg(z) = 30° = \frac{\pi}{6}$

Resposta de: larissamathiasolivei

Determine o argumento principal de cada um dos seguinte número complexo:

z= -√2+i√2

modulo

m = √(2+2) = 2

z = 2 * (-√2/2 + i√2/2)

sen(arg) = -√2/2

cos(arg) = √2/2

tg(arg) = -(√2)/2)/(√2/2) = -1

arg = 135°

Resposta de: sabrinabrandao96

Explicação passo-a-passo:

a) $z=\dfrac{-1}{2}-\dfrac{i}{2}$

$|z|=\sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2}$

$|z|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}$

$|z|=\sqrt{\dfrac{2}{4}}$

$|z|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Temos que:

$\text{sen}~\theta=\dfrac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}~\longrightarrow~\text{sen}~\theta=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$

$\text{cos}~\theta=\dfrac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}~\longrightarrow~\text{cos}~\theta=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$

Logo, $\text{arg}(z)=\dfrac{5\pi}{4}~\text{rad}$

b) z=2i

$|z|=\sqrt{0^2+2^2}$

$|z|=\sqrt{0+4}$

$|z|=\sqrt{4}$

|z|=2

Temos que:

$\text{sen}~\theta=\dfrac{2}{2}~\longrightarrow~\text{sen}~\theta=1$

$\text{cos}~\theta=\dfrac{0}{1}~\longrightarrow~\text{cos}~\theta=0$

Logo, $\text{arg}(z)=\dfrac{\pi}{2}~\text{rad}$

c) z=-6

$|z|=\sqrt{(-6)^2+0^2}$

$|z|=\sqrt{36+0}$

$|z|=\sqrt{36}$

|z|=6

Temos que:

$\text{sen}~\theta=\dfrac{0}{6}~\longrightarrow~\text{sen}~\theta=0$

$\text{cos}~\theta=\dfrac{-6}{6}~\longrightarrow~\text{cos}~\theta=-1$

Logo, $\text{arg}(z)=\pi~\text{rad}$

d) $z=-\dfrac{i}{4}$

$|z|=\sqrt{0^2+\left(\dfrac{-1}{4}\right)^2}$

$|z|=\sqrt{0+\dfrac{1}{16}}$

$|z|=\sqrt{\dfrac{1}{16}}$

$|z|=\dfrac{1}{4}$

Temos que:

$\text{sen}~\theta=\dfrac{-\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}~\longrightarrow~\text{sen}~\theta=-1$

$\text{cos}~\theta=\dfrac{0}{\frac{1}{4}}~\longrightarrow~\text{cos}~\theta=0$

Logo, $\text{arg}(z)=\dfrac{3\pi}{2}~\text{rad}$

e) $z=-3-3i\sqrt{3}$

$|z|=\sqrt{(-3)^2+(-3\sqrt{3})^2}$

$|z|=\sqrt{9+27}$

$|z|=\sqrt{36}$

|z|=6

Temos que:

$\text{sen}~\theta=\dfrac{-3\sqrt{3}}{6}~\longrightarrow~\text{sen}~\theta=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}$

$\text{cos}~\theta=\dfrac{-3}{6}~\longrightarrow~\text{cos}~\theta=\dfrac{-1}{2}$

Logo, $\text{arg}(z)=\dfrac{4\pi}{3}~\text{rad}$

Resposta de: larissamathiasolivei

me desculpa mais eu não sei seu sinto muito de vdd

Resposta de: neireoliveira

z=4√3-4i => a=4√3. b=-4 => 4°Q

tgx = b/a

tgx = -4/4√3

tgx = -1/√3 = -√3/3 => x = 360-30=330°

ou:

p=√a²+b²=√(4√3)²+(-4)²=√48+16 =√64=8

cosx = a/p = 4√3/8 = √3/2 (30°)

senx = b/p = -4/8= -1/2

cos(+) e Sen(-) => 4° quadrante

x = 360 - 30 = 330° ✓

Resposta de: elen160

π/6 // 30º

Explicação passo-a-passo:

A explicação está na imagem, qualquer dúvida é só falar! :)

Determine o argumento principal de cada um dos seguintes números complexos z=√3+i

Resposta de: Busca

Esta imagem representa a raiz cúbica de oito . a expressão matemática é um radical , ela é composta pelo número 3 que é o índice da raiz, pelo símbolo da radiciação e pelo número 8 que é o seu radicando .

Resposta de: Busca

Jogando dama com a 4° criança.