Seja c a circunferência de equação x2 + y2 + 2x + 4y + 2=0. considere em c a corda mn cujo
ponto médio é p(-1, -1). o comprimento de mn (em unidade de comprimento) é igual a

MN=2*2^0.5

Explicação passo-a-passo:

. Resolução com Gráfico em   Distância MN ao centro e comprimento de MN

x^2+y^2+2x+4y+2=0 =>Pm=(-1,-1)=>Vemos que a corda é segmento da reta y=-1, M=(+/-xm, -1)  que intercepta em dois pontos a elipse x^2+y^2+2x+4y+2=0, assim x^2+(-1)^2+2x+4(-1)+2=0

-1+2^0.5 e -1-2^0.5=> M=(-1+2^05, -1) N=(-1-2^05, -1)  

MN=xm-xn=>-1+2^05-(-1-2^05)=> MN=2*2^0.5

Para se determinar a distância de MN para Pm, segue:

x^2+y^2+2x+4y+2=0  

x^2+2x=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=2x=>a=1=>(x+1)^2=>x^2+2x+1

y^2+4y=>(y+b)^2=>y^2+2by+b^2=>2by=4y=>b=2=>(y+2)^2=>y^2+4y+4

(x+1)^2+(y+2)^2=+1+4-2=>(x+1)^2+(y+2)^2=+3, Vemos que C=-(+1,+2), C=(-1,-2)

Distância=D^2=(xc-xp)+(yc-yp)=>d^2=(-1-(-1))^2+(-2-(-1))^2=>d^2=1^2=>d=1

Detalhes acesse https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_62.html  

O comprimento de MN é igual a 2√2.

Primeiramente, vamos calcular o centro e o raio da circunferência x² + y² + 2x + 4y + 2 = 0.

Para isso, vamos completar quadrado:

x² + 2x + 1 + y² + 4y + 4 = -2 + 1 + 4

(x + 1)² + (y + 2)² = 3.

Portanto, o centro da circunferência é o ponto C = (-1,-2) e o raio é igual a r = √3.

Observe a figura abaixo.

Os triângulos CPM e CPN são retângulos, sendo que:

CM = CN = √3

OP = 1.

Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo CPM:

(√3)² = 1² + PM²

3 = 1 + PM²

PM² = 2

PM = √2.

Como P é ponto médio do segmento MN, então podemos concluir que PM = NP = √2.

Logo, MN = 2√2.

Para mais informações, acesse:

resposta:

2+2=4.

bons !

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