Matemática, 18.01.2018 13:24 yarawaneska49

Usando diretamente o cálculo de limite encontre as derivadas das seguintes funções:

Respostas: 1

Respostas

A) f(x) = 3x - 1

lim[f(x+▲x) - f(x)]/▲x
▲x→0

lim{[3(x+▲x)-1] - [3x-1]}/▲x
▲x→0

lim{3x + 3▲x - 1} - {3x - 1}/▲x
▲x→0

lim{3x + 3▲x - 1 - 3x + 1}/▲x
▲x→0

lim{3▲x}/▲x
▲x→0

lim{3} = 3
▲x→0

b) f(x) = x² - 2x

lim[f(x+▲x) - f(x)]/▲x
▲x→0

lim{[x² + 2x▲x + ▲²x - 2(x + ▲x)] - [x² - 2x]}/▲x
▲x→0

lim{x² + 2x▲x + ▲²x - 2x - 2▲x - x² + 2x}/▲x
▲x→0

lim{2x▲x + ▲²x - 2▲x}/▲x
▲x→0

lim{[2x + ▲x - 2]▲x}/▲x
▲x→0

lim[2x + ▲x - 2]
▲x→0

= 2x - 2

Sepauto
18/01/2018

Resposta de: TonyWeber123

$\underset{h\to0}{\lim}\dfrac{(3(x+h)-1)-(3x-1)}{h}\\\\\underset{h\to0}{\lim}\dfrac{3x+3h-1-3x+1}{h}\\\\\underset{h\to0}{\lim}\dfrac{3h}{h}\\\\\underset{h\to0}{\lim}3=\boxed{3}$

Resposta de: tay5876

$\boxed{\mathrm{f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}}\\\\\\ \mathrm{f(x)=3x-1\ \to\ \mathrm{f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{3(x+h)-1-(3x-1)}{h}}=}\\\\ \mathrm{=\lim_{h\to0}\dfrac{3x+3h-1-3x+1}{h}=\lim_{h\to0}\dfrac{3h}{h}=\lim_{h\to0}3=\boxed{\mathbf{3}}}$

Resposta de: felipe0387

a) f(x) = 3x -1 pela definição temos que:

$\lim_{h \to \infty} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= 3$

b) f(x)= 2x-2 pela definição temos que:

$\lim_{h \to \infty} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= 2$

Agora vamos entender como chegamos nesta resposta:

Pela definição de derivada pelo limite, pela equação, temos que:

$\lim_{h \to \infty} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Substituindo os valores da primeira equação temos que:

$\lim_{h \to \infty} \frac{3(x+h)-1-(3x-1)}{h} ----- \lim_{h \to \infty} \frac{3x+3h-1-3x+1}{h}$ ----> Cortando o H temos que: $\lim_{h \to \infty} \frac{3h}{h} = 3$

Similar a primeira iremos substituir os valores da segunda equação:

$\lim_{h \to \infty} \frac{2(x+h)-2-(2x-2)}{h} ----- \lim_{h \to \infty} \frac{2x+2h-2-2x+2}{h}$ ----> Cortando o H temos que: $\lim_{h \to \infty} \frac{2h}{h} = 2$

Espero ter ajudado, bons estudos!

Resposta de: tay5876

As derivadas serão, respectivamente, 3 e 2.

As funções são:

a) f(x) = 3x - 1

b) f(x) = 2x - 2

O operador da derivação é matematicamente definido por:

$f'(x) =\lim_{h \to 0} \dfrac{ f(x+h)-f(x)}{h}$

Vamos aplicar esse operador em cada uma das funções.

a) Para f(x) = 3x - 1 teremos a derivada a seguir:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ f(x+h)-f(x)}{h} \\\\ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ 3(x+h)-1-(3x-1)}{h} \\\\f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ 3x+3h-1-3x+1}{h} \\\\ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{3h}{h} \\\\ f'(x) = \lim_{h \to 0} 3 = 3$

b) Para f(x) = 2x - 2 temos a seguinte derivada:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ f(x+h)-f(x)}{h} \\ \\ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ 2(x+h)-2-(2x-2)}{h} \\ \\f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ 2x+2h-2-2x+2}{h} \\ \\ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{2h}{h} \\ \\ f'(x) = \lim_{h \to 0} 2 = 2$

Você pode aprender mais sobre Cálculo aqui:

Resposta de: joaoguio86pdsfze

a) f(x)=3x-1

Resolução:

F`(x)=3.-0= 3

b) f(x)= -2x

Resolução:

F`(x)=2.x - 2. = 2x-2

Resposta de: 1lauraa1

a) f(x)=3x-1

f'(x) = 3

b) f(x) = x²-2x

f'(x) = 2x-2

Resposta de: isadoradp25

Bom dia!
Vamos usar a definição de derivada:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x) }{\Delta x}$

Agora vamos aplicar isso para as funções:

A) f(x) = 3x - 1

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\\\ 
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{(3(x + \Delta x ) - 1) - (3x - 1)}{\Delta x} = } \\\\
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\diagup\!\!\!\!\!3x + 3\Delta x - 1 - \diagup\!\!\!\!\!3x + 1}{\Delta x} = \\\\
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{3 \diagup\!\!\!\!\!\!\Delta x }{\diagup\!\!\!\!\!\!\Delta x} \\\\
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 3 \\\\
\boxed{\boxed{f'(x) = 3}}$

B)f(x) = x² - 2x
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\\\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{((x + \Delta x)^2 - 2x\Delta x) - (x^2 - 2x ) }{\Delta x}\\\\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{(\diagup\!\!\!\!\!x^2 + 2x\Delta x + \Delta x^2) - 2(x + \Delta x) - \diagup\!\!\!\!\!x^2 + 2x }{\Delta x} \\\\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{2x\Delta x + \Delta x^2 - \diagup\!\!\!\!\!\!2x -2\Delta x + \diagup\!\!\!\!\!2x }{\Delta x}$

Para concluir:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\diagup\!\!\!\!\!2x\Delta x + \diagup\!\!\!\!\!\!\Delta x^2 - \diagup\!\!\!\!\!\!2\Delta x }{\diagup\!\!\!\!\!\!\Delta x} \\\\
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 2x + \Delta x - 2 \\\\
f'(x) = 2x - 2$

Resposta de: ClaudioOliveraAluna

Calcular a derivada das funções utilizando a definição via limites

—————

Solução:

Por definição, a derivada de f(x) é dada pelo cálculo do seguinte limite, nos pontos do domínio de f em que esse limite existe:

$\mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

a) f(x) = 3x − 1

$\mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{\big[ 3(x+h)-1\big]-(3x-1)}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{3(x+h)-\!\diagup\!\!\!\! 1-3x+\!\diagup\!\!\!\! 1}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{3(x+h)-3x}{h}}$

Observe que a constante 1 foi cancelada. Isso porque a derivada da constante é igual a zero. Então, o limite acima é

$\mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{\,\diagup\!\!\!\!\! 3x+3h-\diagup\!\!\!\!\!3x}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{3\!\diagup\!\!\!\! h}{\!\diagup\!\!\!\! h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~3}$

$\mathsf{\dfrac{df}{dx}=3\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$

b) f(x) = x² − 2x

$\mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{\big[(x+h)^2-2(x+h)\big]-(x^2-2x)}{h}}$

Expanda o quadrado da soma que aparece nos colchetes:

$\mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim} \dfrac{\big[(x^2+2xh+h^2)-2(x+h)\big]-(x^2-2x)}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{\big[x^2+2xh+h^2-2x-2h\big]-(x^2-2x)}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{\diagup\!\!\!\!\! x^2+2xh+h^2-\diagdown\!\!\!\!\! 2x-2h-\diagup\!\!\!\!\! x^2+\diagdown\!\!\!\!\! 2x}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{2xh+h^2-2h}{h}}$

Coloque h em evidência no numerador e simplifique a fração:

$\mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{\diagup\!\!\!\! h\cdot (2x+h-2)}{\diagup\!\!\!\! h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~(2x+h-2)}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=2x+0-2}$

$\mathsf{\dfrac{df}{dx}=2x-2\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$

Bons estudos! :-)

Resposta de: sabrinabrandao96

O operador derivada é definido utilizando o limite abaixo:
$\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Para achar a derivada da função f(x) = 3x - 1, basta substituir na fórmula:
$f'(x)= \lim_{h \to 0} \dfrac{3(x+h)-1 - (3x-1)}{h} \\ \\ 
f'(x)= \lim_{h \to 0} \dfrac{3x+3h-1 - 3x+1}{h} \\ \\ 
f'(x)= \lim_{h \to 0} \dfrac{3h}{h} \\ \\ 
f'(x)= \lim_{h \to 0} 3 \\ \\ 
f'(x)=3$

Substituímos f(x+h) pela função trocando o x por x+h, dessa forma chegamos em um limite de uma constante, que como não depende da variável h que está tendendo a zero, o limite é a própria constante.

Resposta de: Busca

Adição e subtração
*menos com menos: soma e coloca o mesmo sinal;
*mais com mais: soma e coloca o mesmo sinal;
*menos com mais: diminui e conserva o sinal do maior.

multiplicação e divisão.
meno com menos da +
mais com mais da +
mais com menos da -

Resposta de: Busca

320,00+130,00=450,00
450,00- 90,00=360,00