chama-se de progressão aritmética (p. toda sucessão de números que, a partir do segundo, a diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante.
vamos considerar as seqüências numéricas:
a) (2, 4, 6, 8, 10, 12).
veja que a partir do 2º termo a diferença entre cada termo e o seu antecessor, é constante:
a2 - a1 = 4 - 2 = 2; a3 - a2 = 6 - 4 = 2
a5 - a4 = 10 - 8 = 2 a6 - a5 = 12 - 10 = 2
b)
a2 - a1 =;
a3 - a2 =
a4 - a3 =
a5 - a4 =
quando observamos que essas diferenças entre cada termo e o seu antecessor, é constante, damos o nome de progressão aritmética (p.a.) à constante damos o nome de razão (r).
obs.: r = 0 p.a. é constante.
r > 0p.a. é crescente.
r < 0p.a. é decrescente.
de um modo geral temos:
sucessão: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, an,
a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = = an - an -1 = r
fórmula do termo geral de uma p.a
vamos considerar a seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, an) de razão r, podemos escrever:
somando membro a membro essas n - 1 igualdades, obtemos:
a2 + a3+ a4+ an -1 + an = a1+ a2+ a3+ an -1+ (n-1).r
após a simplificação temos a fórmula do termo geral de uma p.a.: an = a1 + (n - 1).r
nota importante: quando procuramos uma progressão aritmética com 3, 4 ou 5 termos, podemos utilizar um recurso bastante útil.
• para 3 termos: (x, x+r, x+2r) ou (x-r, x, x+r)
• para 4 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r) ou (x-3y, x-y, x+y, x+3y). onde y =
• para 5 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r, x+4r) ou (x-2r, x-r, x, x+r, x+2r)
interpolação aritmética
interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois números a1 e an, significa obter uma progressão aritmética de k+2 termos, cujos os extremos são a1 e an.
pode-se dizer que todo problema que envolve interpolação se resume em calcularmos a razão da p.a.
ex.: veja esta p.a. (1, 10), vamos inserir 8 meios aritméticos, logo a p.a. terá 8+2 termos, onde:
a1 = 1; an = 10 ; k = 8 e n = k + 2 = 10 termos.
an = a1 + (n-1).r r =
a p.a. ficou assim: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
soma dos n termos de uma p.a. (sn)
vamos considerar a p.a.: (a1, a2, a3, an-2, an-1, an) (1).
agora vamos escrevê-la de uma outra forma: (an, an-1, an-2, a3, a2, a1) (2).
vamos representar por sn a soma de todos os membros de (1) e também por sn a soma de todos os membros de (2), já que são iguais.
somando (1) + (2), vem:
sn = a1 + a2 + a3 + + an-2 + an-1 + an
sn = an + an-1 + an-2 ++ a3 + a2 + a1
2sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + (an-1 + a2) + (an + a1)
observe que cada parênteses representa a soma dos extremos da progressão aritmética, portanto representa a soma de quaisquer termos eqüidistantes dos extremos. então:
2sn = (a1 + an) + (a1 + an) + +(a1 + an) + (a1 + an)
n - vezes
2sn = que é a soma dos n termos de uma p.a.
